Encontrado el primer fractal cuántico: la mariposa de Hofstadter

Hace dos semanas se publicó un paper en la prestigiosa revista científica Nature detallando el experimento que demuestra la existencia de la “Mariposa de Hofstadter”, una estructura de niveles energéticos predicha por el físico cuyo nombre lleva hace unos cuarenta años. Este descubrimiento es una proeza de la física de materiales, y abre la puerta a una nueva clase de materiales, ya que los niveles de energía que determinan el movimiento de los electrones se distribuyen de una manera nunca vista en el dominio de las cosas cuánticas: son fractales.

Es además un logro más para el aclamado grafeno, ya que el material en cuestión consiste en una capa de grafeno y una capa de nitruro de boro, ambas del grosor de un solo átomo. En física de superficies se superponen capas monoatómicas de distintos materiales para obtener lo que se denomina un moiré. Este efecto lo hemos visto todos alguna vez al superponer dos rejillas: aparece un nuevo dibujo producto de la combinación, que varía según vamos girando la rejilla superior. Para que podáis haceros una idea del material que estamos viendo, tanto el grafeno (material de la imagen) como el nitruro de boro tienen estructura hexagonal.

A continuación voy a explicar de manera breve qué es esta imagen, siguiendo dos líneas de razonamiento paralelas. Por un lado, voy a explicar de manera visual el efecto Hall, tanto clásico como cuántico, y después voy a explicar qué es un fractal y qué importancia tiene este nuevo material.

Empezamos por el efecto Hall. Apuesto a que casi todos lo estudiasteis en el colegio, era aquello de clase de física que para hacer los problemas había que sostener la mano derecha en el aire y hacer que cerrabas un grifo, o sacar los dedos y tratar de recordar qué era FBI (aparte de la oficina federal de investigación de EEUU). Este efecto es lo que le sucede a electrones sometidos simultáneamente a un campo eléctrico y a uno magnético. El efecto Hall clásico, el del colegio, estudia lo que pasa cuando tenemos un cable por el que fluye una corriente eléctrica (lo cual se debe al campo eléctrico que genera la pila o la tensión de la red) y se le aplica además un campo magnético externo: los electrones se desplazan hacia un lado del cable, en el sentido de la corriente. Para verlo mejor, imaginad un río. La inclinación del terreno es el campo eléctrico, y determina hacia dónde fluye la corriente. Si empieza a soplar el viento, el agua de la superficie se desplaza, y si el viento sopla justo perpendicular a la corriente, podemos ver como el agua se mueve hacia una orilla, a la vez que sigue yendo río abajo. Bien, pues el viento perpendicular al río es nuestro campo magnético.

Claro, nuestro material no es un cable, que es mucho más largo que ancho o alto, es un plano. Y no solamente eso, nuestro material no es un metal. La estructura del titular es de “niveles energéticos”, vamos a ver qué son. Un objeto sólido está formado por muchos átomos, que comparten sus electrones de manera que se mantienen unidos. Los sólidos cuyos átomos se unen de una manera ordenada se llaman cristalinos, y dependiendo del tipo de átomos los electrones se comparten de distinta forma. Una manera de visualizarlo es que los núcleos de los átomos forman un paisaje, y los electrones son el agua de este paisaje. En un metal  (y de una manera algo distinta, para el grafeno también) el paisaje es plano, entonces el agua forma una masa que puede fluir en cualquier dirección, y por ello los metales conducen. En un aislante (como nuestro nitruro de boro), el paisaje está conformado por altas montañas y profundos pozos, de manera que el agua, nuestros electrones, no pueden moverse. La topografía de este paisaje es una metáfora visual de los niveles energéticos; la altura representa la energía que necesita un electrón para estar en esa posición en el mapa.

Ahora, como este mundo es cuántico, debe estar cuantizado, es decir, dividido en niveles claramente diferenciados. (Cuanto significa unidad.) Esto se aprecia cuando se inclina el terreno o empieza a soplar el viento, el agua se separa en secciones claramente diferenciadas porque se divide el cauce del río. Bueno, la metáfora da para lo que da, pero cuando están presentes tanto un campo eléctrico (inclinación del paisaje) y un campo magnético (viento) se produce el efecto Hall cuántico, y el mapa de paisaje resultante son los niveles energéticos para los electrones en el material. Como nuestro material es un moiré de un muy buen conductor y un muy buen aislante, la superposición da un patrón muy complejo de zonas de conductor y zonas de aislante.

Este patrón es autosimilar, es decir, si escogemos una sección del mismo y lo miramos más de cerca, nos encontraremos con el patrón original, ligeramente deformado en la mayoría de casos. La naturaleza esta llena de ejemplos de estructuras fractales, como los árboles, las nubes o nuestro sistema circulatorio. Pertenecen al área del caos determinista, y son sistemas de enorme interés porque muestran propiedades emergentes. Esto significa que el sistema total presenta características que sus compones no poseen; no son la suma de sus partes, si no que aparecen elementos novedosos que no pueden deducirse del simple estudio de los componentes individuales, y sólo se vuelven evidentes al estudiar el sistema global.

Otro nombre para estos sistemas es autoorganizados, ya que las partes que lo conforman generan un comportamiento global novedoso. Son ubicuos en biología (las células que conforman tu cuerpo son un sistema autoorganizado, y tú eres la propiedad emergente), mientras que en física y química se conocen unos pocos ejemplos. La mariposa de Hofstadter, sin embargo, es el primero que hemos encontrado en el mundo cuántico, propiciando la búsqueda de complejidad en la escala nanométrica.