Karl Marx y el cálculo infinitesimal

Karl Marx

Aprovechando los 200 años del nacimiento de Karl Marx, el matemático y escritor Antonio J. Duran, autor de Crónicas matemáticas (Crítica), indaga en el muy poco conocido idilio que mantuvo el filósofo con el cálculo infinitesimal.

El pasado 5 de mayo se cumplieron 200 años del nacimiento de Karl Marx. Es difícil exagerar la influencia que sus doctrinas económicas, políticas y filosóficas han tenido en el último siglo y medio de historia de la humanidad.

Son, sin embargo, muy poco conocidas sus simpatías por las matemáticas, en particular por el cálculo infinitesimal.

Hay constancia escrita (en cartas a Friedrich Engels) de que para 1858, Marx empezó a interesarse por las matemáticas como herramienta para desarrollar los fundamentos económicos de lo que luego sería una de sus obras más influyentes El capital; Marx siempre pensó que sería posible determinar matemáticamente las leyes que regían las crisis financieras. Ahí dio comienzo un coqueteo que acabó en idilio con el cálculo infinitesimal. En su correspondencia con Engels encontramos muestras de este interés. Así, en 1860 le escribió: "La única actividad que me produce la necesaria tranquilidad de espíritu son las matemáticas"; y tres años después: "En mi tiempo libre hago cálculo diferencial e integral. Por cierto, tengo un montón de libros sobre el tema y te puedo enviar uno si te interesa tantearlo. Lo creo muy necesario para tus estudios militares".

El cálculo infinitesimal es una herramienta científica y tecnológica de primer nivel, sin duda la más potente y eficaz para el estudio de la naturaleza que hayan desarrollado los matemáticos. El cálculo nació en el último tercio del siglo XVII, y tuvo dos comadronas de lujo: Isaac Newton y Gottfried Leibniz (lo que acabó generando entre ellos una durísima, áspera y sucia pelea por determinar quién había sido el primer inventor). Pero el cálculo infinitesimal (tanto en la versión de Newton como en la de Leibniz) tuvo en origen un serio problema: la enorme debilidad de su fundamentación lógica, pues se basaba en los infinitésimos y las cantidades infinitamente grandes. Estos objetos matemáticos, emparentados con el infinito, no fueron definidos propiamente; más todavía, satisfacían propiedades muy peculiares y más que discutibles que se manejaban de forma puramente intuitiva (por ejemplo, un número A infinitamente grande verificaba la inquietante igualdad A+1=A).

Aunque fueron conscientes de esta debilidad lógica (denunciada de manera magistral por el obispo George Berkeley en 1734), fue tal el impulso que el cálculo infinitesimal dio a las matemáticas y a la física, que pocos científicos renunciaron a su uso. Pensemos que la física moderna nació con Newton, y no es por casualidad que Newton sea también uno de los inventores del cálculo infinitesimal. De hecho, el cálculo infinitesimal fue el aliado que permitió a Newton culminar en su obra cumbre, los Principia, la revolución astronómica que inicio Copérnico siglo y medio antes, y que nos permitió comprender cómo y por qué se mueven los planetas alrededor del Sol. Leibniz y sus discípulos también utilizaron el cálculo para resolver muchos y diversos problemas mecánicos que hasta entonces se habían mostrado intratables, incluso para genios de la talla de Leonardo da Vinci o Galileo.

En 1863, cuando Marx empezó su idilio con el cálculo infinitesimal, este tenía ya una fundamentación lógica aceptable, gracias a los textos que Augustin Cauchy preparó para la École Polytecnique en la década de 1820 y la aritmetización llevada a cabo por Karl Weierstrass desde mediados del siglo XIX en la Universidad de Berlín. Marx, que no estuvo al tanto de esos progresos (probablemente ni siquiera de las contribuciones de Cauchy), mostró gran interés por la fundamentación del cálculo, llegando incluso a escribir algunos trabajos sobre los conceptos de derivada y de diferencial. Marx consideraba muy relevante que una parte tan esencial de las matemáticas hubiera sido desarrollada con tal falta de fundamentación lógica, porque de esa forma, también el materialismo dialéctico (la fuerza que modela la totalidad material y contradictoria que forma el universo) podría aplicarse al mundo aparentemente perfecto y lógico de las matemáticas.

Un eco de esto encontramos en algunos escritos de Engels: "Con la introducción de las magnitudes variables y la extensión de su variabilidad a lo infinitamente pequeño y grande, las matemáticas, tan auténticamente morales en otros aspectos, cayeron en desgracia. Comieron del árbol del bien y del mal, lo que llevó a un camino de colosales descubrimientos pero, a la vez, de errores. El virginal estado de absoluta validez e irrefutable certeza de las matemáticas se acabó para siempre. Las matemáticas entraron en el reino de la controversia, y hemos llegado al punto de que la mayoría hace diferenciales e integrales no porque entiendan lo que están haciendo, sino desde la pura fe, y porque hasta ahora siempre han dado resultados correctos" (AntiDüring, 1878). Después de las reformas de Cauchy y Weierstras, en 1878 poco había de verdad en estas afirmaciones de Engels, por más que sí fueran pertinentes para el cálculo infinitesimal del siglo XVIII (buena parte del cual, sin embargo, ha sido reescrito con sólidos fundamentos lógicos usando el análisis no estándar de Abraham Robinson de 1966).

En el desarrollo dialéctico del cálculo infinitesimal, Marx consideraba tres períodos, el cálculo diferencial místico de Leibniz y Newton, el cálculo diferencial racional de D'Alembert y el puramente algebraico de Lagrange. De los matemáticos del primer período dijo: "Ellos mismos creían en el misterioso carácter del cálculo recién descubierto, que producía resultados ciertos por un procedimiento matemático positivamente falso". Sin embargo, fue más condescendiente con D'Alembert y Lagrange: "D'Alembert, despejando al cálculo diferencial de su ropaje místico, ha dado un enorme paso adelante. Lagrange tomó como punto de partida el teorema de Taylor, que es el más general y extenso, y al mismo tiempo una fórmula operacional del cálculo diferencial".

Los principios de Lagrange para fundamentar el cálculo, que tanto gustaron a Marx, eran sin embargo equivocados, como puso de manifiesto Cauchy en sus textos. Si Marx hubiera conocido el libro de Cauchy, tal vez podría haberse anticipado a otro Marx, Groucho en este caso, cuando afirmó: "Estos son mis principios. Si no le gustan tengo otros".