La ley estadística que permite luchar contra el fraude y aprobar exámenes tipo test

En los años treinta el físico Frank Benford descubrió una regla estadística que se repetía con frecuencia en todas las bases de datos numéricas que observaba: desde los valores de la bolsa hasta el área de superficie de los ríos. A esta regla se la conoce como ley de Benford y sus aplicaciones en la actualidad son numerosas:, desde destapar fraudes y falseamiento de datos a descubrir nuevos exoplanetas similares al nuestro.

Si coges cualquier periódico y apuntas todos los números que contiene (desde la fecha hasta los resultados en bolsa) puedes notar que no todos los números aparecen con la misma frecuencia. Habrá una mayor cantidad de números que comiencen por el uno frente a números que comiencen por el 9. Y estos números se distribuyen de una forma muy definida: un 30.1% del total de números empieza por  1, un 17.6% empieza por 2, un 12.5% empieza por tres y así sucesivamente hasta llegar al nueve. Esta distribución de números es lo que se conoce como ley de Benford, y que se cumple para cualquier grupo de números generados de manera no aleatoria. Benford comprobó que su ley se cumplía en periódicos, libros de contabilidad de empresas y listas de direcciones comerciales.

Que los libros de contabilidad cumplan la ley de Benford es extremadamente útil para luchar contra el fraude y el “maquillaje” de las cuentas. En la actualidad el incumplimiento de la ley de Benford está reconocido en los tribunales como una prueba de irregularidades en los libros de contabilidad. Si se han eliminado números o inventado nuevos números, esto afecta a la distribución de primeros números, ya que los números aleatorios generados por ordenador o por nosotros mismos tienen las mismas probabilidades de empezar con cualquier número. Lamentablemente, hoy en día existen programas capaces de generar números aleatorios manteniendo la proporción total de la ley de Benford, haciendo que sea más difícil detectar estos cambios.

La ley de Benford se cumple con datos del mundo real, pero curiosamente falla en datos aleatorios o ruido matemático sin significado. Esto ha permitido usar la ley de Benford en la búsqueda de exoplanetas, (planetas con condiciones similares al nuestro pero en otros sistemas solares o en otras galaxias). Pero aunque cada cierto tiempo tengamos noticias del descubrimiento de un nuevo exoplaneta realmente es muy complicado obtener pruebas de su existencia. Conocemos la composición química de las estrellas debido a que emiten luz producida por la combustión de ciertos elementos químicos, y en cambio los planetas no emiten luz por sí mismos, de manera que se localizan por métodos indirectos, como ver su sombra al pasar este por delante de una estrella. Con esta sombra podemos conocer su tamaño, distancia hasta su estrella y su velocidad de desplazamiento, y en pocos casos color producido por su composición química. Si comparamos estos parámetros con los de la Tierra sabremos qué planetas tienen mayor posibilidad de ser habitables. En otros casos estos planetas pueden no existir y ser asteroides enormes que cruzaban por delante de la estrella, o simples errores de detección del telescopio. Por ese motivo se probó a aplicar la ley de Benford con la totalidad de parámetros de todos los planetas hallados hasta la fecha, demostrando que no funciona. Esto abre dos posibilidades: o tenemos datos falsos en nuestras mediciones (comprobaron que si se elimina un 10% de los datos si puede cumplirse la ley) o nos faltan muchos más datos y solo detectamos una proporción muy definida del universo (lo cual es posible teniendo en cuenta su tamaño). Con estos datos los astrofísicos tratan de confirmar cual es la opción correcta y así lograr que nuestro conocimiento del universo sea un poco más fiable.

Ahora pensemos en una aplicación más útil de la ley de Benford. ¿Podríamos aprobar un examen aprovechando esta ley? Esta duda fue recientemente contestada por el equipo de Aaron Slepkov de la Universidad de Peterborough (Canadá). Reunieron 5000 preguntas de física tipo test usadas por profesores universitarios cuya respuesta final fuera un número. Comprobaron que si se elegían respuestas en la proporción adecuada con la ley de Benford era posible acertar en el 51% de las preguntas y aprobar, aunque no se tuvieran conocimiento de física para responderlas. Sin embargo esta regla estadística funciona mejor para grupos de datos realmente grandes, con las diez preguntas que suelen entrar en un examen la ley de Benford no actuaría correctamente y sería fácil suspender siguiendo esta estrategia.

Probablemente Benford propuso la ley como una simple curiosidad estadística. No supo prever toda la utilidad que tendría en diferentes campos: astronomía, economía, resolución de exámenes. Y las que hallaremos en el futuro.