Cuasicristales

Cuasicristal octagonal generado por ondas superficiales

Un grupo de investigadores del CSIC y de la Universidad Autónoma de México ha conseguido visualizar por primera vez la propagación de ondas en cuasicristales. El estudio, publicado recientemente en la Physical Review Letters, analiza el comportamiento de los electrones en este tipo de estructuras. Uno de los miembros del equipo, el español Manuel Torres, perteneciente al Instituto de Física Aplicada, explica para El Cultural la trascendencia y el significado de este descubrimiento.

Las ondas ponen el espacio y el tiempo en pie de igualdad y por eso son ubicuas en física. Una onda representa una pauta de armonía, de orden, que es periódica en el espacio, que se repite cada vez que nos desplazamos por ella una longitud de onda; también es cíclica en el tiempo, reproduce su amplitud de periodo en periodo. En la naturaleza hay múltiples ejemplos de estructuras periódicas, repetitivas, tanto espacial como temporalmente: órbitas celestes, ciclos biológicos y estacionales, mosaicos de tejido vivo, cristales...

A propósito de los cristales, si comparten con las ondas su estructura periódica en el espacio, parece natural describirlos con una matemática de ondas congeladas, detenidas en el tiempo. Así lo hacen los físicos y los cristalógrafos. La técnica precisa para ello la desarrolló Fourier, físico-matemático y egiptólogo napoleónico. Hasta aquí el aspecto estático: los cristales se pueden describir por ondas congeladas. Pero ¿y el aspecto dinámico? ¿Cómo camina una onda viva, armónica y vibrante en el espacio y en el tiempo, por un cristal inanimado? ¿Se acoplará esta onda peregrina, de algún modo, a las oscilaciones periódicas, u ondas congeladas, que describen y conforman el cristal? La respuesta es científicamente crucial y adopta muchas formas de expresión, pero lo esencial es que siempre es afirmativa. Repasemos dos ejemplos bien conocidos que significan dos formas de expresión, sólo aparentemente distintas, de la misma respuesta afirmativa.

Simetría y orden repetitivo
Los rayos X son ondas electromagnéticas de longitud de onda comparable con las distancias típicas entre los átomos vecinos de un cristal. Si proyectamos un haz de rayos X sobre una muestra cristalina y fotografiamos la radiación resultante, algunas ondas electromagnéticas de la radiación incidente interaccionarán fuertemente con las ondas estructurales del cristal y otras no. El resultado de esta especie de resonancia selectiva de ondas es lo que llamamos patrón de difracción del cristal. Es su firma estructural, un retículo discreto de puntos brillantes que da cuenta de la simetría y el orden repetitivo interno del cristal. Con estos patrones se puede "ver" la estructura atómica del cristal. Esta poderosa técnica de análisis es la base de la cristalografía y su desarrollo está jalonado de nombres propios como von Laue, Bragg, Brillouin, etc.

Los electrones tienen naturaleza ondulatoria, su longitud de onda espacial es inversamente proporcional a su impulso mecánico y su frecuencia temporal es directamente proporcional a su energía. Si estas ondas electrónicas no interfieren destructivamente con las ondas estructurales del cristal, entonces se acoplan a él, el cristal modula estos electrones, "se viste" con ellos, les confiere su orden y su elegante simetría, como la modelo al indumento, y, a cambio, les permite que se extiendan sin límite por su estructura periódica prácticamente infinita. "Sur la robe elle a un corps" como el poema de Blaise Cendrars a propósito de los "vestidos simultáneos" de Sonia Delaunay. Hay un bello teorema tan elegante, constructivo, estético y eróticamente indumentario como lo antedicho, es el teorema de Floquet- Bloch, que describe las ondas de los electrones libres extendidos por un cristal. Su utilidad iguala a su belleza a la hora de estudiar las propiedades físicas de la materia cristalina.

Ahora, por fin, aparecen los cuasicristales dando otra vuelta de tuerca a estos asuntos. Pero antes revisemos la simplicidad esencial del orden de los cristales. ¿Cómo se construye un cristal? Por traslación espacial repetitiva de una celda unidad. ¿Esta forma periódica es la única forma de engendrar orden de traslación de largo alcance? No, otra forma, llamada "cuasiperiódica", fue descrita por el celebrado matemático medieval Fibonacci estudiando las pautas idealizadas de reproducción de estirpes de conejos inmortales. ¿Cómo se construye una secuencia cuasiperiódica de Fibonacci? Mediante unas sencillas reglas de sustitución. Tomemos dos segmentos, uno largo L y otro corto S, y procedamos por iteración como sigue: L pasa a ser LS y S se transforma en L. Obtendremos así una secuencia de sucesión infinita LSLLSLSL... No hay repetición periódica de pauta alguna. Por otro lado, el número de eles dividido por el número de eses tiende a un número irracional muy popular entre los artistas del Renacimiento, el "número de oro", que está directamente relacionado con la geometría del pentágono regular.

Si escogemos la relación de longitudes L/S también igual al número de oro, entonces la secuencia cuasiperiódica es sibisemejante, se parece a sí misma. Puede "inflarse" o "desinflarse" manteniendo su misma estructura. ¿Hay estructuras cuasiperiódicas en dos y tres dimensiones? La respuesta también es afirmativa, se trata de los mosaicos de Penrose y de las construcciones espaciales de Ammann respectivamente. ¿Se dan estas estructuras cuasiperiódicas en la naturaleza? Sí, son los llamados "cuasicristales" descubiertos por el científico judío Shechtman, en 1984, en algunas aleaciones de aluminio. ¿Pueden los cuasicristales describirse también como una estructura de ondas congeladas? Sí, pero para esta descripción necesitaremos dos longitudes de onda fundamentales que guarden entre sí una relación irracional, en lugar de una sola como ocurría en el sencillo caso de los cristales.

Exótica y bella geometría. ¿Muestran los patrones de difracción de los cuasicristales puntos tan nítidos como los de los cristales? Sí, pero sus nuevas simetrías, pentagonales, octagonales, decagonales o dodecagonales, se consideraban prohibidas en la cristalografía convencional anterior a 1984. ¿Existen asimismo electrones extendidos por la estructura cuasiperiódica infinita de los cuasicristales, "vistiendo" su exótica y bella geometría?

La respuesta aún no está clara, pero también parece afirmativa bajo ciertas restricciones, hablando técnicamente, para el caso de potenciales débiles. Para arrojar luz sobre esta cuestión fundamental, un grupo de investigadores hemos realizado un experimento analógico en el que simulamos las ondas electrónicas por ondas superficiales en un líquido y los átomos del cuasicristal por pequeños pozos practicados en el fondo de una vasija llena de un líquido somero. El experimento visualiza por primera vez ondas conformando una secuencia cuasiperiódica de Fibonacci y da pie a la esperanza de que existan estados electrónicos extendidos, a la Floquet-Bloch, también en los cuasicristales. Si así fuera, la física de los cuasicristales dejaría de ser tan elusiva y se comprenderían mejor sus propiedades.

Números irracionales
Cuando Hippasus de Metaponto, discípulo aventajado de Pitágoras, demostró sin lugar a dudas que la diagonal y el lado de un cuadrado son inconmensurables, estalló el primer escándalo científico de la humanidad, y, según Proclo Diadoco, comentarista tardío de Euclides, se dice que los pitagóricos, dogmáticos e inmisericordes, ahogaron al pobre Hippasus en castigo, y allí permaneció sepultado y batido por las olas. El hispánico experimento de la vasija cuasicristalina rescata piadosamente a Hippasus del fondo de las aguas, y las ondas cuasiperiódicas en la superficie del líquido recuperan la antigua belleza, oculta y perdida, de los números irracionales. La plástica de las imágenes que se visualizan por primera vez en tan sencillo experimento pertenece, por derecho propio, al platónico reino de las matemáticas, y esta vez sería injusto invocar la célebre cita que sugiere que la naturaleza imita el arte. En el caso de los cuasicristales debería de ser justo al revés. Los físicos han hecho ya su parte. ¿Para cuándo la de los pintores?

Secuencias de Fibonacci
Arriba, en la imagen, puede apreciarse un cuasicristal octagonal generado por ondas superficiales si se hace vibrar una vasija llena de un líquido somero que cubre un fondo especialmente preparado (primera imagen por la izquierda). A la derecha, Ondas cuasiperiódicas producidas en el experimento cuando se le da a la vasija un impulso transversal repentino. Abajo, dos aspectos de las ondas electrónicas cuasiperiódicas extendiéndose por un cuasicristal octagonal. Las distancias entre los frentes de onda guardan una relación igual al número irracional raíz cuadrada de 2.