Tesoros y misterios del pasado matemático

Leonardo da Vinci: El hombre de Vitruvio, 1490

Los misterios del pasado matemático centran el artículo de Sánchez Ron, que nos habla de la sucesión de Fibonacci y de la relación áurea. La belleza de los números en estado puro. ¿Sabía que Dalí la utilizó en Semitaza gigante volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud?.

Hay nombres que aunque tengan su razón de ser en un determinado campo especializado terminan traspasando sus, en principio, reducidos dominios para formar parte de ese patrimonio común que llamamos cultura universal. Tal es el caso de la "sucesión de Fibonacci" y la "razón áurea" (o "número áureo"). La sucesión en cuestión es la que surge de ir añadiendo términos que son la suma de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…. Esta sucesión posee otra característica interesante: que el cociente entre uno de sus términos y el inmediatamente anterior tiende a un límite, a un número concreto, 1,618034..., un numero irracional (aquellos cuyo desarrollo decimal continúa indefinidamente y sin periodicidad alguna) al que se le denomina con el nombre ya citado de "razón áurea" y que se representa por la letra griega phi.

La popularidad de esta sucesión y del número áureo reside en la sorprendente variedad de sus manifestaciones: por ejemplo, en un girasol se observan espirales tanto hacia la derecha como hacia la izquierda, y si se cuentan las espirales en un sentido y en otro se descubre que son dos números consecutivos de la serie de Fibonacci; así, si hacia un lado es 89, hacia el otro será 55, o 144. Asimismo, el número de pétalos de muchas flores (margaritas, azucenas, caléndulas, achicorias), de las nervaduras de las hojas de los árboles o de las espirales de las conchas de los caracoles figuran entre los términos de la sucesión de Finobacci. Otros ejemplos clásicos proceden de mundo del arte, encabezados por la referencia a El hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. Sin embargo, en un libro recientemente publicado, Finding Fibonacci (Princeton University Press), el matemático de la Universidad de Stanford Keith Devlin sostiene que la idea de que Leonardo da Vinci utilizase phi en este célebre dibujo, o que creyese que la relación áurea es el cociente entre la altura y la anchura de una cara humana "perfecta", no tiene fundamento (tampoco el que Boticelli hiciera lo propio para establecer las proporciones de la Venus de El nacimiento de Venus, o Georges Seurat en El desfile del circo).

Me confieso incapaz de tomar partido definitivo en este contraste de opiniones, pero sí sé que, si se eligen puntos de referencia adecuados, es posible encontrar muy diversos tipos de relaciones. Se dice que aparece el número áureo cuando se calcula la relación de distancia entre el ombligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total, o si se compara ésta con la distancia del hombro a los dedos, pero ¿por qué estos referentes precisamente? No son muy diferentes a algunos procedimientos utilizados por los aficionados a encontrar en documentos antiguos predicciones acerca de acontecimientos futuros (normalmente dramáticos, "el fin del mundo" entre ellos). El único juez fiable a la hora de llegar a conclusiones es disponer de evidencias, algo que, en lo que se refiere a este asunto, sucede, entre otros casos, con Salvador Dalí, del que sabemos que experimentó conscientemente con la razón áurea, en, por ejemplo, Semitaza gigante volante, con anexo inexplicable de cinco metros de longitud (1944-1945).

Cuanto más nos alejamos del presente, mayores son las incertidumbres, más intenso es el barniz que el paso del tiempo ha dado a hechos y personajes del pasado. Así, adjudicar a Fibonacci la "sucesión" que lleva su nombre fue iniciativa, en la década de 1870, del matemático francés Edouard Lucas. Y lo hizo después de que el matemático, historiador y bibliófilo (de triste recuerdo, por los robos que cometió) italiano Guglielmo Libri rebautizase en 1838 a quien hasta entonces era conocido simplemente como Leonardo, hijo de un comerciante pisano de nombre Guilichmus Bonacci. Si se hubiese seguido la costumbre habitual, Leonardo habría pasado a la historia como Leonardo Pisano (o "de Pisa"), pero Libri optó por Fibonacci, de filius Bonacci, "hijo de Bonacci". Más importante que este, a la postre detalle menor, es responder a la pregunta de cómo es que este Leonardo, de cuya vida prácticamente no se sabe nada (salvo que nació en Pisa, hacia 1175, y falleció, parece, en 1250), terminó dando nombre a una sucesión tan omnipresente.

La respuesta es que fue gracias a un libro cuya primera versión (hoy perdida) terminó en 1202, y que conocemos a partir de la segunda "edición", completada en 1228, Liber abbaci. Si lo juzgásemos desde nuestra perspectiva actual, tendríamos que decir que se trata de un texto humilde, extenso y farragoso; básicamente, una colección de ejercicios destinados a resolver problemas de cálculos comerciales... utilizando algo que para todos nosotros es casi como la leche materna: el sistema de numeración indo-arábigo, como sustituto a la numeración romana. En otras palabras, un sistema que utilizaba un "principio posicional" (para unidades, decenas, centenas...), introducido, junto al 0 ("cero"), un descubrimiento absolutamente extraordinario, en la India hacia el siglo V, y transmitido a Europa a través del, entonces, esplendoroso mundo cultural árabe. El gran divulgador árabe de la matemática hindú fue Al-Jwarismi (h. 780-850), quien ha dado nombre a una de esas palabras que constituye un pilar imprescindible de la civilización actual: algoritmo. Gracias a las actividades comerciales de su padre en la cuenca mediterránea, Leonardo supo de aquel sistema y se esforzó por difundirlo en la Italia de su tiempo. ¡Tiempos, si no felices sí prósperos, aquellos en los que los intercambios con el mundo árabe eran muy diferentes de los actuales!

Pero ¿por qué Leonardo Pisano, luego Fibonacci, está asociado a la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…? La respuesta es sencilla: porque uno de los muchos ejercicios contenidos en Liber abbaci era el siguiente, relativo a la cría de conejos: "Un hombre tenía una pareja de conejos y quería saber cuántos se podrían reproducir en un año a partir de la pareja inicial, suponiendo que de forma natural cada pareja tiene una pareja cada mes, y que cada nueva pareja empieza a reproducirse a partir del segundo mes". La solución es la sucesión en cuestión. Y como el resto de su tratado, este problema no era idea suya, sino que se había planteado también de la India mucho antes.

El número de oro, la relación áurea, posee una historia todavía más antigua: apareció por primera vez en los Elementos de Euclides -otra persona de cuya vida apenas sabemos nada, salvo que vivió en Alejandría, y que debió ser más un recopilador-sistematizador que un creador- a propósito del problema de cómo dividir un segmento que guarda ciertas proporciones: "La longitud total, a+b, es al segmento más largo, a, como a es al segmento más corto, b".

El pasado lejano es en muchas ocasiones como un viejo arcón que hace mucho que no se ha abierto, pero que cuando se abre desvela algunos tesoros que creíamos nuestros, de nuestra civilización, de "épocas más ilustradas", tesoros, además, que en el caso de la matemática todavía nos sorprenden sin que seamos capaces de comprenderlos totalmente: ¿Por qué la Naturaleza es tan "matemática"? l