Espiral logarítmica de la concha del Nautilus
Newton y Leibniz: la violenta carrera por el cálculo diferencial
Esta construcción imperecedera, por la que compitieron ambos genios, es considerada como una de las piezas matemáticas más importantes de la historia.
Si algo caracteriza a la ciencia es su continua evolución, la mejora constante de sus contenidos. Son pocos los sistemas teóricos, incluyendo las leyes que estos contienen, que no se ven superados con el paso del tiempo, aunque puedan permanecer como válidos en ciertos límites.
Estoy pensando, por ejemplo, en el caso de la física, en esa grandiosa construcción que se encuentra en el libro que Isaac Newton publicó en 1687, Principios matemáticos de la filosofía natural, que contiene tres leyes para el movimiento y otra específica, la ley de la gravitación universal, que permitieron y todavía permiten entender, uno, cómo se mueven los cuerpos –esto es, básicamente, determinar cómo cambia, en función del tiempo, la posición de un cuerpo al moverse–, y, dos, comprender el movimiento de los cuerpos celestes, aplicando a una de esas leyes una sencilla expresión matemática: la fuerza entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
El éxito de la física newtoniana ha sido y es inmenso. Todavía hoy se utiliza para guiar sondas espaciales que se dirigen al espacio profundo, a los límites de nuestro sistema solar. En la actualidad, la sonda más alejada de la Tierra es la Voyager 1 (lanzada el 5 de septiembre de 1977) que está, cuando escribo estas líneas, a casi 24.400 millones de kilómetros de nosotros (en la página web del Jet Propulsion Laboratory del Instituto Tecnológica de California se puede ver, en tiempo real, cómo va aumentando esta distancia).
Sin embargo, y aunque se tardó tiempo en demostrarlo, se terminó averiguando que ninguna de esas cuatro leyes de Newton es completamente exacta, que únicamente son aplicables en situaciones de velocidades pequeñas, en comparación con la velocidad de la luz, y de campos gravitacionales relativamente pequeños (incluso en el caso de Mercurio, el planeta más pequeño del Sistema Solar, la física newtoniana no explica de manera exacta su movimiento).
Fue Albert Einstein, en 1905, quien mostró con su teoría de la relatividad especial que leyes de movimiento introducidas en los Principia de Newton no son exactas, y que tampoco lo son las dos suposiciones implícitas en ellas, que espacio y tiempo son absolutos, es decir, que las medidas obtenidas por cualquier observador, independientemente de su estado de movimiento, son iguales.
Y en 1915 completó su (relativa) demolición de la física newtoniana con la teoría de la relatividad general, dedicada exclusivamente a la interacción gravitacional, teoría de la que se han extraído consecuencias imposibles de deducir con la ley de la gravitación universal de Newton.
Al igual que en la física, en otras ciencias sucede lo mismo. En la química se puede citar como ejemplo la suposición formulada en 1775 nada menos que por Lavoisier, “el Newton de la química”, de la “ley de la conservación de la masa”, según la cual “la masa total de los reactivos es igual a la masa total de los productos”, ley que siglos después se perfeccionaría (ya que sólo es aplicable a procesos de baja energía en un sistema aislado) incluyendo no sólo la masa sino también la energía.
En la matemática la situación es diferente. Tomemos, por ejemplo, los Elementos de Euclides (siglo IV a. C.): sus contenidos, demostraciones como el teorema de Pitágoras (que ya era conocido con anterioridad) o la de la existencia de un número infinito de números primos, son y serán válidos por mucho tiempo que transcurra.
Otra construcción matemática imperecedera y cuya importancia para el desarrollo de las ciencias de la naturaleza, al igual que para algunas ciencias sociales y para la tecnología, es el cálculo diferencial e integral.
No hay en mi opinión pieza matemática más importante que esta, y por ello puedo comprender hasta cierto punto la violencia y apasionamiento que sus dos inventores emplearon intentando defender la prioridad de uno frente al otro. Se trata de Isaac Newton y Gottfried Leibniz.
Pocos conceptos-elementos, si es que hay alguno, han sido más difíciles de tratar matemáticamente que los de “infinitesimal” e “infinito”. El primero, del que se ocupa el cálculo diferencial y explota el integral, ya estaba presente de manera implícita en las conocidas “paradojas de Zenón (siglo V a. C.)”, y el segundo tuvo que esperar al siglo XIX, a Georg Cantor, para poder ser estructurado en toda su compleja variedad.
[Juego, verdad y belleza en el corazón de las matemáticas]
El cálculo diferencial de Newton es peculiar, idiosincrásico: lo denominó “cálculo fluxional", motivado por la necesidad de disponer de un instrumento matemático para analizar el movimiento de los cuerpos, de la posición que “fluye”. Por el contrario, la formulación de Leibniz, que fue la que se impuso, surgió al margen de tales necesidades.
Me ha recordado todo esto a un libro reciente, de Michael Kempe, dedicado a Leibniz: El mejor de los mundos posibles. Los 7 días que cambiaron la vida de Leibniz (Taurus, 2024). Uno de esos siete días es el 29 de octubre de 1675, cuando en París Leibniz escribió por primera vez el signo asociado a la integración: “∫”. Hubo que esperar, no obstante, hasta 1684, 1686 y 1693 para que presentara públicamente su método en tres artículos publicados en la revista alemana Acta Eruditorum.
En cuanto a la cronología, los orígenes de la versión newtoniana de cálculo diferencial-infinitesimal se remontan a poco antes de que Newton se recluyera en 1666 en la casa materna, en Woolsthorpe, debido al cierre de la Universidad de Cambridge por una pandemia de peste bubónica.
[Elogio y necesidad de las matemáticas]
En un texto que probablemente compuso en 1669, pero que sólo se publicó en 1711, Análisis de cantidades mediante series, fluxiones y diferencias, Newton escribió: “Paulatinamente fui a dar en los años de 1665 y 1666 con el método de fluxiones del que aquí hago uso en la cuadratura de curvas”.
Decía en líneas anteriores que la polémica entre Newton y Leibniz, y entre sus respectivos seguidores, por la prioridad en la invención del cálculo diferencial e integral alcanzó niveles que pocas veces se han dado en la historia de la ciencia (la editorial Crítica publicó los correspondientes documentos en 2006: La polémica de la invención del cálculo infinitesimal). Lo que muestra que la grandeza intelectual no tiene por qué ir acompañada por la creencia en que lo verdaderamente importante es el avance del conocimiento.
