Einstein y Güdel, en Princeton (H. 1950)

Rebecca Goldstein es profesora de filosofía en el Trinity College y novelista, y ambas cosas se le notan. Como filósofa se ha adentrado en los intrincados reconvecos de los teoremas de Güdel, nada fáciles para el profano; pero allí está la novelista dispuesta a servirle de guía desbrozando el camino y, con el concurso de ejemplos sencillos y una gran claridad expositiva, haciendo inteligibles las demostraciones sin tener que desarrollarlas con todo el aparto técnico.

No abusa, sin embargo, de su inclinación literaria. Podía haber novelado la vida bastante singular de Güdel, como parece insinuar el título de la versión española del libro. Anota puntos clave de la misma pero su interés se centra en lo que ofrece el título de la versión original, los problemas de la incompletitud. Y aquí sí que despliega su facultad narrativa presentándonos primero a un Güdel cuyo platonismo disentía de los postulados positivistas del círculo de Viena, ante el cual, sin embargo, permanecía callado. Hasta que llegó su momento culminante en la reunión de Küningsberg, en octubre de 1930. Todos los pesos pesados de la lógica matemática aportaron el primer día sus propuestas sobre las paradojas de la teoría de conjuntos que habían provocado una crisis en los fundamentos de la matemática. Ningún platónico entre ellos; todos suscribían que la noción de verdad matemática era reducible a la demostrabilidad y sólo discrepaban en las condiciones de esa demostrabilidad. El logicismo quería reducir las verdades matemáticas a las tautologías de la lógica: el intuicionismo no admitía demostraciones que no fueran construibles y por tanto sólo manejaba nociones de carácter finito o a lo más contable, con lo que había que desechar la mayor parte de la matemática, por muy buenos resultados que hubiera dado; y el formalismo trataba de vacunar y las matemáticas contra las paradojas acudiendo exclusivamente a símbolos y relaciones abstractas, y eliminando así toda referencia a concretos objetos matemáticos.

Güdel esperó al último día, en el que se abrió el debate sobre las ponencias presentadas, para anunciar su primer teorema de incompetitud: en un sistema formal, como la aritmética, se puede construir una proposición verdadera que no es demostrable dentro del sistema. Con ello echaba por tierra todos los programas que se habían discutido, pero debió de hacerlo con tal concisión, y en el bajo tono característico en él que pasó inadvertido para todos. Para todos menos para uno, von Neumann: algo debió de percibir allí con suficiente enjundia como para interrogar a su autor por el sustento de su afirmación y meditar después sobre ello, llegando a la conclusión de que, si eso era cierto, será imposible demostrar formalmente para la aritmética,o para cualquier sistema que la contuviera, su propia coherencia, es decir, la ausencia de contradicciones, sin salirse del mismo sistema. Podemos pensar que, suavemente y con beatífica sonrisa, le contestaría Güdel que estaba en lo cierto y que él ya lo había demostrado rigurosamente. Era el segundo teorema de incompletitud.

Algunos teoremas más, relativos a la teoría de conjuntos y a variadas cuestiones, llevan la firma de Güdel, quien, en una obra que cabe en un solo libro, revolucionó las ideas, convirtiéndose en uno de los mayores lógicos de todos los tiempos. Sus teoremas de incompletitud conducen a la existencia de proposiciones indecidibles de las que no puede demostrarse ni su certeza ni su falsedad. No es extraño por ello que se les haya dado también una versión humanística y sacado conclusiones acerca de lo que somos y no somos. El libro sólo lo apunta, pero su verdadero valor -y no es pequeña hazaña- consiste en haber puesto a nuestro alcance toda la envergadura de aquellos teoremas que los no iniciados podemos seguir en este ejercicio modélico de alta divulgación.